作为统计领域的专家，我将为您解释为什么卡方检验（Chi-square test）总是一个右侧尾检验。

卡方检验是一种统计检验方法，用于检验分类变量是否独立。它主要用于比较实际观测值与理论预期值之间的差异。卡方检验的基本原理是，如果两个变量是独立的，那么它们的联合分布将等于各自边缘分布的乘积。检验统计量是观测频率和期望频率之间差异的度量。

在卡方检验中，我们通常关注观测频率是否显著高于或低于期望频率。由于期望频率是基于理论模型或假设计算得出的，因此，当观测频率显著高于期望频率时，这表明实际数据与理论模型之间存在差异，这可能导致我们拒绝原假设（即两个变量是独立的）。

### 为什么卡方检验是右侧尾检验


1. 期望频率与观测频率的关系：卡方检验的统计量是基于观测频率和期望频率之间的差异。当我们谈论“右侧尾检验”时，我们指的是检验统计量的分布的尾部，即检验统计量大于其临界值的情况。


2. 原假设与备择假设：在卡方检验中，原假设通常是两个变量之间没有关联（即期望频率等于观测频率）。备择假设是存在某种关联（即期望频率不等于观测频率）。如果我们观察到的频率显著高于期望频率，这可能表明存在正相关；如果显著低于，则可能表明存在负相关。然而，卡方检验的设计更倾向于检测正偏离，即观测频率高于期望频率的情况。


3. 检验统计量的计算：卡方检验的统计量计算公式为：
\[
\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
\]
其中，\(O_i\) 是第 \(i\) 类的观测频率，\(E_i\) 是期望频率。这个公式的设计意味着，当观测频率远高于期望频率时，卡方值会显著增加。


4. 卡方分布的特性：卡方分布是一种正偏分布，随着自由度的增加，分布会逐渐接近正态分布。在卡方检验中，我们通常关注卡方分布的右侧尾部，因为较大的卡方值对应于观测频率与期望频率之间较大的差异。


5. 实际应用中的偏差：在实际应用中，卡方检验通常用于检验分类变量的分布是否符合某种理论分布。当观测值偏离理论预期时，这种偏离往往是正向的，即实际观测值的频率高于理论预期的频率。

### 结论

综上所述，卡方检验之所以总是一个右侧尾检验，是因为它的设计和应用更侧重于检测观测频率是否显著高于期望频率，这通常与变量之间存在某种关联或偏离理论模型有关。当然，这并不意味着卡方检验不能检测负偏离，但在实际应用中，正偏离更为常见，因此卡方检验的这种特性更符合实际需求。

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Only when the sum is large is the a reason to question the distribution. Therefore, the chi-square goodness-of-fit test is always a right tail test. The data are the observed frequencies. This means that there is only one data value for each category.read more >>